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超几何分布的期望和方差公式(啥是超几何分布)

100次浏览     发布时间:2024-08-08 12:48:36    

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了从有限N个物件(其中包含M个指定种类的物件)中抽出n个物件,成功抽出该指定种类的物件的次数(不放回)。称为超几何分布,是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。 [1]

超几何分布中的参数是M,N,n,上述超几何分布记作X~H(N,M,n)。


定义

编辑

产品抽样检查中经常遇到一类实际问题,假定在N件产品中有M件不合格品,即不合格率

在产品中随机抽n件做检查,发现k件不合格品的概率为

,k=0,1,2...min{n,M}。

亦可写作

(与上式不同的是M可为任意实数,而C表示的组合数M为非负整数)

为古典概型的组合形式,a为下限,b为上限,此时我们称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution)。

需要注意的是: [1]

(1)超几何分布的模型是不放回抽样。

(2)超几何分布中的参数是M,N,n,上述超几何分布记作X~H(n,M,N

示例

已经知道某个事件的发生概率,判断从中取出一个小样本,该事件以某一个机率出现的概率问题。

例:在一个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少?

解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

其中N = 30. D = 10. n = 5.

P(一等奖) = P(X=4) + P(X=5)

由公式

,k=0,1,2,...得:

P(一等奖) = 106/3393

期望

定理:对超几何分布X~H(N,M,n) ,随机变量X的数学期望

. [2]

引理一:

引理二:

引理证明:它们均可用恒等式(1+x)M-1(1+x)N-M=(1+x)N-1两边的展开式中含xn-1项的系数相等证明。仅以(2)中n≤M的情形证明如下:

的展开式中含xn-1项的系数为(注意N-M

定理证明:当M=N=1时,X的分布列P(X=1)=1,且有n=1,可得此时欲证成立。

当M=1,N≥2时,X的分布列为:

所以

(引理一(2))

下证M≥2时也成立,又分两种情形:

(1)又当n≤N-M时,X的分布列见超几何分布的定义有

(2)又当n>N-M时,X的分布列见超几何分布的定义有

因此定理获证 [3]

方差

对X~H(N,M,n),

[4] .

证明:D(X)=E(X2)-E(X)2 (此公式利用定义式简单展开即得)

(提取,变形)

(拆项,变形)

(拆开∑,就是分组求和)

[2] (化简即得)

超几何分布和二项分布的联系 [1]

(1)在超几何分布中,当

时,

(二项分布中的p)。

(2)当

时,超几何分布的数学期望

(3)当

时,超几何分布的方差

(二项分布的方差)。

(4)当

时,超几何分布近似为二项分布。

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